27 metų vidurio saugas yra vieno stipriausių Kroatijos klubų „Osijek“ auklėtinis, šioje ekipoje 2008-aisiais ir pradėjo profesionalo karjerą. 2013-aisiais futbolininkas perėjo į „Rijeka“, kuri po sezono metams jį paskolino „Zadar“ ekipai.

2015 metais D. Pušičius išvyko į Šveicariją ir vieną sezoną atstovavo „Lugano“. Po metų saugas grįžo į „Osjjek“, kuriam atstovavo iki šios metų vidurio.

Kroatijos aukščiausioje lygoje D. Pušičius yra sužaidęs 170 rungtynių, buvo kviečiamas į savo šalies U18, U19 ir U20 rinktines.

„Sūduva“ su kroatu sudarė sutartį iki 2020 m. sezono pabaigos. Marijampolėje saugas vilkės 25 numeriu pažymėtus marškinėlius.