Profesionalo karjerą Kulvietis pradėjo Vilniaus „Perlo“ klube.

Praėjusiame sezone Dižono JDA ekipai atstovavęs 206 cm ūgio krepšininkas iki čempionato nutraukimo su komanda vietiniame fronte rikiavosi 3-oje turnyro lentelės vietoje. FIBA Čempionų lygoje puolėjas su JDA ekipa jau buvo pradėjęs kovas „Top 16“ etape.

„Saulius yra puikus žaidėjas, kuris turėtų greitai įsilieti į komandą bei savo puolimo ir gynybos sugebėjimais puikiai tiks mūsų žaidimo stiliui“, – kalbėjo „Ryto“ vyr. treneris Donaldas Kairys.

Grįžimu į Vilnių džiaugėsi ir pats krepšininkas.

„Džiugu, kad po dešimties metų pertraukos grįžtu žaisti į Vilnių ir šį kartą ginsiu stipriausios sostinės komandos garbę. „Rytui“ visada keliami dideli tikslai, todėl labai tikiuosi, kad savo žaidimu būsiu naudingas ir drauge pasieksime puikių pergalių“, – kalbėjo S. Kulvietis.

Čempionų lygoje S. Kulvietis rinko po 7,3 taško (77 proc. dvitaškių), 2,5 atkovoto kamuolio bei 7,6 naudingumo balo.

2019-2020 m. Prancūzijos čempionate puolėjas fiksavo 6,3 taško, 2,3 atkovoto kamuolio ir 6,3 naudingumo balo statistiką.

2009-2010 m. sezone LKL debiutavęs puolėjas per savo karjerą yra dar rungtyniavęs Badalonos „Joventut“, Panevėžio „Lietkabelio“, Utenos „Juventus“, Prienų bei Pasvalio ekipose.